O número fi e a seqüência de Fibonacci
Definido por Euclides (360 a.C.-295 a.C.) como resultado de uma operação geométrica bastante simples, o número fi pode ser observado em padrões matemáticos, físicos e biológicos. Além disso, é usado como referência estética nas artes plásticas.
Também conhecido como “proporção áurea”, o fi é dado pela razão entre dois segmentos de reta, AB e AC, tal que C é um ponto intermediário entre A e B escolhido de forma que AC/CB = AB/AC. Essa razão vale 1,6180339887... e, como você já deve ter desconfiado, é um número irracional, assim como pi, e, raiz quadrada de 2 etc.
Em 1202, um matemático de Pisa conhecido como Fibonacci publicou em seu “Livro dos Ábacos” um problema que consistia em calcular quantos coelhos poderiam ser produzidos em um ano, a partir de um único casal. Supondo que cada casal leva um mês, após nascer, para ficar fértil e gera sempre outro casal a cada mês, e que nenhum coelho morre durante o ano, Fibonacci chegou a uma seqüência que dava o número de coelhos a cada mês: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377...
Essa série, em que cada termo é obtido pela soma dos dois números imediatamente anteriores, ficou conhecida como a “seqüência de Fibonacci”. E qual a sua relação com a proporção áurea? Acontece que, como notou o célebre Johannes Kepler em 1611, a divisão entre um número de Fibonacci e seu precedente leva ao número fi quando se avança para valores cada vez maiores na seqüência. Ou seja, F(n)/F(n - 1) tende para fi quando n tende para infinito.
De modo inverso, os números de Fibonacci podem ser gerados a partir de uma “lei de potência”, o que os caracteriza como números não completamente aleatórios e intriga cientistas e matemáticos que os encontram nas mais diversas situações.
Talvez por ter sido descoberta na geometria, a proporção áurea foi muito utilizada por artistas da pósrenascença na composição de seus quadros. Uma construção geométrica que leva a um resultado interessante começa com um retângulo onde a razão entre a largura L e a altura H seja justamente fi. Esse é um retângulo áureo. Dividindo agora essa figura pra formar um quadrado de lado H, obteremos, com a parte restante, outro retângulo áureo. Repetindo o processo nesse segundo retângulo, obteremos outro quadrado e outro retângulo, também áureo. Continuando a brincadeira, obteremos retângulos áureos cada vez menores que convergem para um ponto, chamado de pólo da construção. Esse pólo é o encontro das diagonais dos retângulos áureos da construção (veja a figura ao lado).
Em seguida, traçando circunferências com raios iguais aos lados dos quadrados formados, chegaremos a uma curva que leva ao pólo e que se assemelha a uma espiral logarítmica – traçando qualquer reta a partir do pólo, ela irá cortar essa espiral sempre com o mesmo ângulo. Isso ajuda a entender porque aves predadoras, como águias, falcões e gaviões, descem sobre suas presas seguindo uma espiral como essa, com o alvo no pólo. Como os olhos das aves são laterais, fazendo isso ela mantém a presa sempre na mesma linha de visão, sem que precise girar a cabeça, o que prejudicaria a aerodinâmica do seu vôo.
No mundo vegetal, o número fi e a seqüência de Fibonacci surgem em muitas situações, como no arranjo dos galhos nos troncos das árvores ou nas espirais formadas na casca do abacaxi. Eles também aparecem em fenômenos físicos, como observado em experiências de transmissão da luz por camadas de vidro com índices de refração diferentes. Esses e outros exemplos são descritos com mais detalhes no artigo " O Número Fi e a Seqüência de Fibonacci", escrito pela professora Maria Efigênia Gomes de Alencar, publicado na revista Física na Escola v.5, n. 2.
Definido por Euclides (360 a.C.-295 a.C.) como resultado de uma operação geométrica bastante simples, o número fi pode ser observado em padrões matemáticos, físicos e biológicos. Além disso, é usado como referência estética nas artes plásticas.
Também conhecido como “proporção áurea”, o fi é dado pela razão entre dois segmentos de reta, AB e AC, tal que C é um ponto intermediário entre A e B escolhido de forma que AC/CB = AB/AC. Essa razão vale 1,6180339887... e, como você já deve ter desconfiado, é um número irracional, assim como pi, e, raiz quadrada de 2 etc.
Em 1202, um matemático de Pisa conhecido como Fibonacci publicou em seu “Livro dos Ábacos” um problema que consistia em calcular quantos coelhos poderiam ser produzidos em um ano, a partir de um único casal. Supondo que cada casal leva um mês, após nascer, para ficar fértil e gera sempre outro casal a cada mês, e que nenhum coelho morre durante o ano, Fibonacci chegou a uma seqüência que dava o número de coelhos a cada mês: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377...
Essa série, em que cada termo é obtido pela soma dos dois números imediatamente anteriores, ficou conhecida como a “seqüência de Fibonacci”. E qual a sua relação com a proporção áurea? Acontece que, como notou o célebre Johannes Kepler em 1611, a divisão entre um número de Fibonacci e seu precedente leva ao número fi quando se avança para valores cada vez maiores na seqüência. Ou seja, F(n)/F(n - 1) tende para fi quando n tende para infinito.
De modo inverso, os números de Fibonacci podem ser gerados a partir de uma “lei de potência”, o que os caracteriza como números não completamente aleatórios e intriga cientistas e matemáticos que os encontram nas mais diversas situações.
Talvez por ter sido descoberta na geometria, a proporção áurea foi muito utilizada por artistas da pósrenascença na composição de seus quadros. Uma construção geométrica que leva a um resultado interessante começa com um retângulo onde a razão entre a largura L e a altura H seja justamente fi. Esse é um retângulo áureo. Dividindo agora essa figura pra formar um quadrado de lado H, obteremos, com a parte restante, outro retângulo áureo. Repetindo o processo nesse segundo retângulo, obteremos outro quadrado e outro retângulo, também áureo. Continuando a brincadeira, obteremos retângulos áureos cada vez menores que convergem para um ponto, chamado de pólo da construção. Esse pólo é o encontro das diagonais dos retângulos áureos da construção (veja a figura ao lado).
Em seguida, traçando circunferências com raios iguais aos lados dos quadrados formados, chegaremos a uma curva que leva ao pólo e que se assemelha a uma espiral logarítmica – traçando qualquer reta a partir do pólo, ela irá cortar essa espiral sempre com o mesmo ângulo. Isso ajuda a entender porque aves predadoras, como águias, falcões e gaviões, descem sobre suas presas seguindo uma espiral como essa, com o alvo no pólo. Como os olhos das aves são laterais, fazendo isso ela mantém a presa sempre na mesma linha de visão, sem que precise girar a cabeça, o que prejudicaria a aerodinâmica do seu vôo.
No mundo vegetal, o número fi e a seqüência de Fibonacci surgem em muitas situações, como no arranjo dos galhos nos troncos das árvores ou nas espirais formadas na casca do abacaxi. Eles também aparecem em fenômenos físicos, como observado em experiências de transmissão da luz por camadas de vidro com índices de refração diferentes. Esses e outros exemplos são descritos com mais detalhes no artigo " O Número Fi e a Seqüência de Fibonacci", escrito pela professora Maria Efigênia Gomes de Alencar, publicado na revista Física na Escola v.5, n. 2.
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